等號的意義

從 www.threads.com/shar... 得悉原來台灣 108 課綱抽掉了未知數與方程，自己總是站在課程的對立面，認為求知需要擺脫課程才會真正開始。譬如，所有人都學過數學，但有多少人思考過何謂「等號 =」？

1. 用於運算的等號

小學至初中數學的基礎離不開算術，加減乘除等四則運算，等號的意義在於後式等於前式，較少人提的是前式亦要等於後式，逆運算成立的認知應有助驗算結果，認為數學好難便不妨多嘗試用後式倒推前式，兩個方向之中往往有一個較易判斷。

2. 用於方程的等號

引入未知數與方程式後，許多學生便開始混淆。重點其實已從運算轉至平衡，衍生「天秤法」或「移項法」等心智模型，高中的「比較系數法」亦然，悟通後應該多少可減低認知負荷，提高計算效率。

3. 用於定義的等號

學習微積分時，極限的概念理應伴隨一次知性上的震撼，既等於又不等於零的 Δx，其實早於無窮小數 0.999... = 1 已曾劇透。那種屹突的感覺其實源於未經定義，但嚴格的 ε-δ 證明恐怕沒有課程敢放到中學裡頭。

4. 1+2+3+... = -¹/12

若之前內容全都平平無奇，希望這等式能重拾數學帶來的驚與喜。正整數之和竟然取值負分數?! Ramanujan 於 1913 寄給 Hardy 的信便提及這道等式，經正規化與重整化所得的此值甚至被應用於物理學的弦論，更與 Riemann ζ(-1) 密切相關。

設 S(x) = 1+x+x²+x³+... = ¹/(1-x)
代入 x = -1
  S(-1) = 1-1+1-1+... = ½
S(x) 取平方後按冪次展開後
  S(x)² = 1+2x+3x²+4x³+...
代入 x = -1
  (½)² = 1-2+3-4+...
重組正負項
  ¼ = 1+2+3+... -4(1+2+3+...)
  ¼ = -3(1+2+3+...)
  -¹/12 = 1+2+3+...